Hypothesis testing of temperature trends

This is the second blog post in a series of five that analyse trends in the global surface temperatures. The posts put emphasis on the mathematics and the statistics used in the analyses. The posts are numbered 1 to 5. They should be read consecutively.

Post 1    Linear regression analysis
Post 2    Hypothesis testing of temperature trends
Post 3    Confidence intervals of temperature trends
Post 4    Statistical power of temperature trends
Post 5    Piecewise linear regression applied to temperature trends

The posts are gathered in this pdf document.

Start of post 2, Hypothesis testing of temperature trends:

The decision of whether a calculated temperature trend is statistically significant or not is based on hypothesis testing. The null hypothesis H0 is that the underlying long term trend is zero and that a calculated trend different from zero is caused by random noise on the measurements. The alternative hypothesis H1 is that the underlying long term trend is different from zero.

The t-value of the trend is its estimated slope [°C/year] divided with its 1-σ uncertainty [°C/year]. It is a dimensionless number. The t-value follows a Student's t-distribution when the noise on the temperature measurements is random. The probability density function (pdf) of the t-distribution is symmetrical and bell-shaped, as shown in Figure 2.1. The degrees of freedom of the t-distribution is the number of independent measurements minus two.

The absolute value of the t-value is a measure of the probability that the slope is different from zero. A t-value less than 1 tells that the uncertainty of the calculated slope is greater than the slope itself; then the true slope may very well be zero. If, however, the t-value is much greater than 1, the true slope is probably different from zero.

When we calculate a temperature trend different from zero, we do not know if it is caused by random noise on the measurements or by a long term trend different from zero. The calculated trend is statistically significant at the α significance level if the probability to calculate such an extreme trend is less than α, given that the null hypothesis is true. The term 'Such an extreme trend' means a trend that is as big as or even bigger than the calculated trend, positive or negative. This is illustrated in Figure 2.1, which shows the pdf of the t-value under the null hypothesis.

Figure 2.1: The Student's t-distribution with illustration of the significance level α equal to 0.05.The plot assumes that the null hypothesis H0 is true.

Linear regression analysis

This is the first blog post in a series of five that analyse trends in the global surface temperatures. The posts put emphasis on the mathematics and the statistics used in the analyses. The posts are numbered 1 to 5. They should be read consecutively.

Post 1    Linear regression analysis
Post 2    Hypothesis testing of temperature trends
Post 3    Confidence intervals of temperature trends
Post 4    Statistical power of temperature trends
Post 5    Piecewise linear regression applied to temperature trends

The posts are gathered in this pdf document.

Start of post 1 Linear regression analysis

The colored lines in Figure 1.1 show the monthly temperature anomalies from January 1984 to December 2013 for five different temperature series. A temperature anomaly is the difference between the real temperature and the average temperature. A base period is a time interval in which the average temperature is calculated. For brevity we often write temperature instead of temperature anomaly. The five series contain the global land and ocean surface temperature anomalies.

Figure 1.1: Temperatures in the last 30 years for five different temperature series. The trend line is calculated based on the average of the temperature series.

Utledning og tolkning av helningen i lineær regresjonsanalyse

Mange tidligere innlegg på bloggen handler om lineær regresjonsanalyse. Der har jeg skrevet at regneark og matematikkprogram inneholder bibliotekfunksjoner for å regne ut helningen til regresjonslinjen og dens skjæringspunkt med den vertikale y aksen. Nå vil jeg vise hvordan formlene for disse verdiene kan utledes.

Formelen for helningen kan også skrives som kovariansen mellom X og Y dividert med variansen til X. Den siste delen av innlegget utleder denne sammenhengen.

Disse utledningene er enkel matematikk som alle med realfaglig bakgrunn og interesse kan gjennomføre. Jeg skriver innlegget fordi jeg tror at kjennskap til disse utledningene øker forståelsen av lineær regresjonsanalyse. Jeg tror også at jevnlig gjennomgang av slike utledninger hjelper til å vedlikeholde egne matematikkferdigheter.

Jeg skrevet fem innlegg på engelsk om statistisk analyse av global overflatetemperatur etter at dette innlegget ble lagt ut. Det første av disse gjentar matematikken i dette innlegget. Det gjøres for at de fem innleggene på engelsk skal bli mer fullstendige enn de ville vært uten.

Stor usikkerhet i temperaturtrender over korte tidsintervaller

Innlegget Stigende temperaturtrend i de siste tiårene på Dagsavisen Nye Meninger (DNM) tok utgangspunkt i den forrige blogposten her på hpklima. Innlegget fokuserte på den stigende temperaturtrenden i de siste tiårene, og deretter på at det ikke er holdepunkter for å hevde at den er avløst av en flat eller synkende trend etter tusenårsskiftet. Noen av kommentarene både til det innlegget og til andre innlegg på DNM kirsebærplukket starttidspunkter rundt år 2000 for å få en synkende temperaturtrend. Det inspirerte til å generere Figur 1 og Figur 2. De viser at trender beregnet med disse kirsebærplukkete starttidspunktene har så stor usikkerhet at de ikke motsier trenden beregnet over 20 til 40 år. Den langsiktige trenden er stigende med ca 0,15°C per tiår, og den er godt innenfor 95% konfidensintervallene til trendene beregnet med kirsebærplukkete starttidspunkter.

Figur 1: Trend fra år langs x-aksen frem til november 2013. Beregningene er basert på en kombinasjon av GISTEMP, HadCRUT4 og NCDC globale overflatetemperaturer.

Villedende temperaturtrender

Stigningen i den globale overflatetemperaturen har vært svakere etter tusenårsskiftet enn den var i de foregående tiårene. Men det er galt å hevde at den stigende temperaturtrenden frem til tusenårsskiftet er etterfulgt av en flat eller synkende trend.

I dette innlegget bruker jeg HadCRUT4 temperaturene slik Met Office offentliggjør dem på sine hjemmesider. Resultatene med NASA GISTEMP og NCDC temperaturene er tilsvarende.

Nettet florer med utsagn om at den stigende temperaturtrenden frem til begynnelsen av 2000-tallet er etterfulgt av en flat eller synkende trend. Utsagnene underbygges med skjematiske trendlinjer i diverse figurer. Det opplyses ikke om disse skjematiske trendlinjene er tegnet inn på subjektivt skjønn eller om det ligger matematiske beregninger bak dem. De kan se plausible ut, men trendlinjer beregnet med vanlig lineær regresjonsanalyse gir et helt annet bilde av temperaturutviklingen over de aktuelle tidsrommene.

Villedende brukne trendlinjer

Den rød linjen i Figur 1 er et eksempel på en slik skjematisk trendlinje. Figuren viser de månedlige HadCRUT4 temperaturene gjennom de siste 30 årene. De blå linjene er temperaturtrenden når vi deler de 30 årene opp i to segmenter og beregner trenden separat i hvert av dem med vanlig lineær regresjonsanalyse.

Figur 1: HadCRUT4 temperaturer i de siste 30 år, med separat beregnete trendlinjer (blå) og villedende skjematisk trendlinje (rød)

Tidsskillet mellom segmentene er valgt slik at den siste blå trendlinjen, fra november 2000 til oktober 2013, er helt flat. Den første blå trendlinjen, fra november 1983 til oktober 2000, er stigende med 0,22°C/tiår. Den sammenhengende røde trendlinjen er tegnet slik at den har samme helning som de beregnete blå trendlinjene. Men det er fullstendig galt å si at temperaturtrenden frem til slutten av 2000 var stigende for så å flate helt ut, fordi utsagnet utelater hoppet mellom de blå trendlinjene. Utsagnet må evt. være at temperaturtrenden frem til slutten av 2000 var stigende, så gjorde temperaturen plutselig et hopp oppover, og deretter har trenden vært helt flat. Men i et tregt klimasystem gjør ikke global overflatetemperatur plutselig et hopp oppover, så også det utsagnet er fullstendig galt. Den skjematiske røde trendlinjen er derfor villedende.

Man-made carbon emissions increase atmospheric CO2

The man-made carbon emissions have caused the recent increase in atmospheric CO2 concentration.

This post sums up in english the posts dated 10 June, 9 May and 28 January 2013.

This blog post refutes the article The phase relation between atmospheric carbon dioxide and global temperature [1] recently published by Ole Humlum, Kjell Stordahl and Jan-Erik Solheim (Humlum et al). They claim that there is no correlation between the man-made (anthropogenic) carbon emissions and atmospheric CO2 concentration. They more than suggest that the CO2 increase is caused by rising global temperatures. Their cause-effect explanation is opposite to the consensus among climate scientists, which is that the increased concentration of CO2 is man-made and that it has caused the increase in global temperature.

Mark Richardson [2] and Troy Masters / Rasmus Benestad [3] have published Comments to Humlum et al's article in which they show that the article contains serious errors. This blog post will do the same.

Carbon emissions

Figure 1: Man-made fossil fuel carbon emissions (CDIAC) and Mauna Loa atmospheric CO2 (ESRL)

Menneskeskapte karbonutslipp og atmosfærisk CO2

To tidligere blogginnlegg, fra 28. januar og 9. mai i år, går gjennom artikkelen The phase relation between atmospheric carbon dioxide and global temperature [1] som Ole Humlum, Kjell Stordahl og Jan-Erik Solheim (HSS) nylig har publisert. Disse innleggene viser at HSS antagelig regner riktig når de sammenligner endringer i global temperatur med endringer i atmosfærisk CO2 konsentrasjon, men at de trekker feil konklusjon. Innlegget 28. januar viser at HSS med sin metodikk og logikk ikke fanger opp langtidstrender, og at de derfor ikke kan si noe om disse. Innlegget 9. mai regner videre på de samme dataene som HSS bruker, og det viser at bare en veldig liten del av CO2 økningen i de siste dekadene kan skyldes temperaturstigningen. Innlegget avslutter med setningen Økningen i atmosfærisk CO2 innhold i de siste dekadene skyldes noe annet enn temperaturstigningen. Nå vil jeg skrive om hva dette noe annet kan være.

Menneskeskapte karbonutslipp og atmosfærisk CO2

Figur 1. Menneskeskapte karbonutslipp og atmosfærisk CO2 konsentrasjon