13. mars valgte myndighetene å 'stengte ned' Norge for å slå ned viruset. Helt frem til da var det flere som mente at det ikke var mulig å 'slå ned' viruset, og at en i stedet skulle satse på å begrense smittespredningen og på litt sikt satse på flokkimmunitet. Sistnevnte strategi ble ikke valgt, og jeg tror at de aller fleste nå er enige om at eneste farbare vei er å 'slå ned' viruset. Det er imidlertid uenighet om hvilke tiltak som er de mest effektive for å 'slå ned' viruset, men det er en annen diskusjon.
I en artikkel på Science Media Centre, Expert comments about herd immunity, forklarer mange eksperter hva flokkimmunitet er og hvordan det kan oppnås. Flere av disse bruker en enkel epidemimodell basert på generasjoner av smitte for å forklare hva flokkimmunitet er. De forklarer det med eksempler som tar utgangspunkt i det basale reproduksjonstallet R0. Jeg gjengir kort denne forklaringen med R0 lik 3 som eksempel: En smittet person kommer inn i flokken, og han smitter 3 andre. Disse er generasjon 1 av smittede/syke. Hver av disse tre smitter tre andre, og i generasjon 2 er det derfor 9 smittede/syke. I generasjon 3 blir det 27, osv. Dette er en meget enkel modell som jeg kaller generasjonsmodellen.
Generasjonsmodellen kompliseres raskt ved at de som er smittet i en av de tidligere generasjonene, har blitt immune og derfor ikke kan bli smittet på nytt. Jeg programmerte modellen og tok hensyn til det ved å sette andelen smittede i neste generasjon lik andel smittede i nåværende generasjon multiplisert med andel ikke-immune i nåværende generasjon multiplisert med R0. (Andel er et tall mellom 0 og 1, der 0 er ingen og 1 er alle.) Likevel ble resultatene fullstendig gale, med negative reproduksjonstall og andeler til dels veldig mye større enn 1 i tallverdi. Jeg utvidet programmet til også å ta hensyn til at de som ble smittet i en generasjon kunne bli smittet flere ganger i den samme generasjonen, og at disse måtte telles bare en gang. Jeg gjorde det ved å dele opp smittespredningen i hver generasjon i veldig mange små steg der hvert steg tok hensyn til de som ble smittet i de foregående stegene. Da fungerte modellen bra. Ekspertene som uttalte seg i den nevnte artikkelen på Science Media Centre, er nok klar over at implementering av modellen må ta disse hensynene selv om de ikke skrev om det.
Ekspertene i nevnte artikkel sa alle helt korrekt at det effektive reproduksjonstallet Re synker når flere blir immune. Når Re blir lavere enn 1 vil hver syke i gjennomsnitt smitte mindre enn en annen person, og epidemien vil ikke lenger øke i omfang. Det skjer når antall mottakelige for smitte er 1 dividert på R0, dvs. når andelen immune er (1-1/R0). Ekspertene gir inntrykk av at da vil epidemien dø ut. Ingen av dem skiller mellom scenarioet der en smittet person kommer inn i en frisk flokk med Re lik 1, og scenarioet der Re blir 1 mens epidemien pågår. De argumenterer ut fra førstnevnte scenario uten å poengtere det.
I det første scenarioet kommer en smittet person inn i en stor flokk. Sykdommen hans vil ikke utvikle seg til en epidemi fordi han og de ev. påfølgende syke i gjennomsnitt smitter mindre enn en annen. Med Re mindre enn 1 har flokken immunitet mot at ny smitte sprer seg til mange. Det er flokkimmunitet mot ny smitte, og den teoretiske grensen for det er at andelen immune i flokken er (1-1/R0).
I det andre scenarioet er epidemien på topp mht. antall syke når Re blir 1. Fordi det da er mange syke vil det også i de neste generasjonene bli mange syke. Det vil gå mange generasjoner før epidemien dør ut, og da vil veldig mange flere enn andelen (1-1/R0) ha vært syke og blitt immune.
Figur 1 viser flokkimmunitet som funksjon av det basale reproduksjonstallet. Den er beregnet vha generasjonsmodellen. Figur 2 sammenligner simuleringer gjort med SEIR epidemimodellen med simuleringer som er gjort med generasjonsmodellen. Begge figurene viser andel av befolkningen i prosent langs y aksen som en funksjon av det basale reproduksjonstallet R0 langs x aksen. For vanlig influensa er R0 cirka 1,3; for Covid-19 er R0 cirka lik 3, og for meslinger er R0 større enn 10.
Modellene gir veldig like resultater, og for flokkimmunitet mot ny smitte stemmer de veldig bra med den teoretiske andelen (1-1/R0). Implementeringen i programvaren av de to modellene er veldig forskjellige, og det var derfor en positiv overraskelse å se at de gir så like resultater.
Det er viktig å understreke at det er stor usikkerhet knyttet til alle tall i dette innlegget, og at figurene og de fleste tallene er hentet fra simuleringer med to veldig enkle epidemimodeller.
 |
| Figur 1: Flokkimmunitet mot ny og pågående sykdom som funksjon av det basale reproduksjonstallet R0. |
Figur 1 viser at det er stor forskjell mellom flokkimmunitet mot ny smitte (rød kurve) og mot pågående epidemi (blå kurve). Den blå kurven forutsetter at epidemien får spre seg i befolkningen uten at hverken myndigheter eller enkeltpersoner gjør tiltak mot smittespredning. Det kan skje for en harmløs sykdom, men det vil i praksis ikke skje for en så alvorlig sykdom som Covid-19. Både myndigheter og enkeltpersoner vil da ta forholdsregler som gjør at færre er syke når det effektive reproduksjonstallet passer 1 på sin vei nedover. Da vil epidemien dø ut før andel immune etter sykdom har blitt så høy som den blå kurven angir.
I tidligere innlegg tok jeg utgangspunkt i at R0 for Covid-19 er 3,11. Figuren viser at da har flokken immunitet mot ny smitte hvis minst 68 prosent av den er immune. Hvis derimot ingen i flokken er immune når ny smitte kommer, og epidemien får utvikle seg i flokken uten mottiltak, vil ikke epidemien dø ut før 95 prosent av flokken har blitt immune. Det er flokkimmunitet mot en pågående epidemi.
 |
| Figur 2: Differanse mellom flokkimmunitet beregnet med to forskjellige epidemimodeller. Genrasjonsmodellens beregning av flokkimmunitet mot ny smitte er dessuten sammenlignet med en teoretisk verdi. |
For å sammenligne generasjonsmodellen med SEIR modellen beregnet jeg verdiene som ligger bak kurvene i Figur 1 med begge modellene. Deretter beregnet jeg differansene mellom disse. Figur 2 viser disse differansene med rød kurve for flokkimmunitet mot ny smitte og blå kurve for flokkimmunitet mot pågående epidemi. Den grønne kurven viser differansen mellom flokkimmunitet mot ny smitte beregnet med generasjonsmodellen og den teoretiske grensen (1-1/R0). Som vi ser ligger grønn kurve veldig nær null.
Figur 2 viser at den enkle generasjonsmodellen og den noe mer avanserte SEIR modellen beregner kravet til flokkimmunitet ganske likt. Samsvaret er best for flokkimmunitet mot ny smitte. Der er modellene også enige med den teoretiske verdien (1-1/R0).
SEIR modellen har informasjon om tidsforløp med verdier for inkubasjonstid, hvor lenge en smittet person er smittsom ovenfor andre, hvor lenge pasienter ligger på sykehus, osv. Denne tidsinformasjonen brukes i stokastiske ligninger i modellen. Generasjonsmodellen har overhodet ingen slik informasjon om tidsforløp. Det har derfor ingen hensikt å sammenligne hvordan modellene beregner at smitten brer seg i tid.
Avsluttende kommentar om immunitet
Både dette og de foregående innleggene om Covid-19 og epidemimodeller på denne bloggen har forutsatt at de som har vært syke, blir immune lenge nok til ikke å bli smittet på nytt mens epidemien pågår. Det er kanskje ikke riktig, som den ferske artikkelen Why we might not get a coronavirus vaccine i The Guardian forklarer. Hvis immuniteten er kortvarig, antar jeg at de avanserte epidemimodellene som myndighetene benytter, vil ta hensyn til det.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar